Ecuación de la circunferencia: Forma ordinaria y forma general.

Tomemos, por ejemplo, la circunferencia cuyo centro está dado por C (2, ─3), con radio r = 5 que se muestra en la figura:

 

Para obtener la ecuación general de la circunferencia que estamos viendo podemos usar dos métodos:

Método por desarrollo y

Método con las fórmulas conocidas.

Método por desarrollo

Como conocemos el centro, C (2, ─3) y el radio (r = 5) entonces la fórmula ordinaria de la circunferencia será

(x ─ a) 2 +  (y ─ b) 2 = r 2 donde a y b son las coordenadas del centro C (a, b), que en nuestro caso corresponde a C (2, ─3)

entonces, nuestra ecuación ordinaria quedará como

(x ─ 2) 2 +  (y ─ ─ 3) 2 = 5 2

(x ─ 2) 2 +  (y + 3) 2 = 5 2

(x ─ 2) 2 +  (y + 3) 2 = 25

Nota: algunos usan otras letras, como (x ─ h) 2 +  (y ─ k) 2

Sigamos.

Tenemos nuestra ecuación ordinaria

(x ─ 2) 2 +  (y + 3) 2 = 25

y desarrollamos  sus dos binomios:

(x  ─ 2) (x  ─ 2) + (y  +  3) (y  +  3) = 25

(x 2 ─ 2x ─ 2x + 4) + (y 2 + 3y + 3y + 9) = 25

(x 2 ─ 4x  +  4) + (y 2 + 6y + 9) = 25

Recordemos que la estructura de la ecuación general de la circunferencia es

x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0

Entonces, ordenamos nuestra ecuación anterior y la acomodamos de acuerdo con la fórmula general:

x 2 +  y 2 ─ 4x  +  6y + 4 + 9 ─ 25 = 0

x 2 +  y 2 ─ 4x  +  6y  ─ 12 = 0

que es la ecuación general de la circunferencia con centro en las coordenadas 2,  ─3 y cuyo radio es 5.

Método con las fórmulas conocidas

Como conocemos el centro, C (2, ─3) y el radio (r = 5) entonces aplicamos las fórmulas

Si a = (-D/2) entonces   D = ─ 2a

Si b = (-E/2) entonces   E = ─ 2b

Si r = RaizCuadrada de ( a 2 + b 2 ─  F) entonces    F = a 2 + b 2 ─  r 2

Recordemos que C (2, ─3) corresponde a C (a, b)

Entonces, hacemos:

F = 4 + 9 ─ 25 = ─12

Si  recordamos que la estructura de la ecuación general de la circunferencia es

x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0

y en ella sustituimos los valores ahora conocidos de D, E y F, tendremos

x 2 + y 2 + ─4x + 6y + ─12 = 0

x 2 + y 2 + ─4x + 6y ─12 = 0

obtenemos la misma ecuación general de la circunferencia que logramos mediante el método del desarrollo.

Ahora, hagamos algunos ejercicios

Ejercicio 1

Encuentre la ecuación general de la circunferencia cuyo centro está en las coordenadas y que tiene un radio igual a

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